RELACIÓN DE CONGRUENCIA

En esta entrada, veremos un ejemplo la relación de congruencia Zn.

Decimos que dos elementos a y b, pertencientes a Z, son congruentes módulo n si y solo si:

n|a-b

o

a-b=nk, siendo k un entero cualquiera

o

el resto de dividir a por n es igual al resto de dividir b por n.

 Por ser una relación de equivalencia, Zn produce una partición en Z, en clases de equivalencia.

Demostrar que Z5 es una partición de Z.

Veamos cómo son, explícitamente, las clases de congruencia módulo 5.

Comencemos por la clase de 0:

[0] = {xE Z/xR0} = { xE Z/x-0=5q  ^  qEZ}= {x E Z / x = 5q } 

[0]= {...,−20,−15,−10,−5,0,5,10,15,20,...};  

En las siguientes clases, expresamos lo mismo pero respetando la relación entre los elementos        

Escojamos un entero fuera de esta clase, digamos 1:

[1]={xE Z/xR1} = { xE Z/x-1=5q  ^  qEZ}= {x E Z / x = 5q+1^  qEZ}= {...,−19,−14, −9, −4,1,6,11,16,21,...};

Escojamos un entero fuera de las clases anteriores, por ejemplo 2:

[2]={xE Z/xR2} = { xE Z/x-2=5q  ^  qEZ}= {x E Z / x = 5q+2^  qEZ}={...,−18,−13, −8, −3,2,7,12,17,22,...};

Escojamos un entero fuera de las clases anteriores, por ejemplo 3:

[3]={xE Z/xR3} = { xE Z/x-3=5q  ^  qEZ}= {x E Z / x = 5q+3^  qEZ}={...,−17,−12, −7, −2,3,8,13,18,23,...};

Escojamos un entero fuera de las clases anteriores, digamos 4:

[4]= {xE Z/xR4} = { xE Z/x-4=5q  ^  qEZ}= {x E Z / x = 5q+4^  qEZ}={..., −16,−11, −6, −1,4,9,14,19,24,...};

¿Cumplen las condiciones para que constituyan una partición de Z?

1.   Cada clase de equivalencia es no vacía, ya que por lo menos contienen el elemento referente a ella.
2.  Estas clases son distintas dos a dos. ¿Por qué? Supongamos que un elemento x, un entero cualquiera,  pertenece  a la clase del  1 y también a la clase del 3, es decir suponemos que la intersección no es vacía. Si pertenece a la clase del 1: xR1 y si pertenece a la clase del 3: xR3, es decir que x= 5q₁+1 y x=5q₂+3 (aplicando la definición de la relación de congruencia módulo 5), que resulta absurdo, pues un mismo número al dividirlo por 5, tendrá siempre el mismo resto. Por lo tanto las clases son distintas dos a dos.
3. No es posible escoger un entero fuera de estas clases, dicho en otras palabras, si elegimos un entero cualquiera, estará en alguna de esas 5 clases. Es decir, que cualquier entero dividido por 5, nos dará como restos: 0, 1, 2,3y 4, que son precisamente las 5 clases halladas.

Se obtiene así una partición del conjunto Z de los enteros en cinco clases de congruencia módulo 5, y el conjunto cociente es

Z/(≡5) ={[0],[1],[2],[3],[4]}

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